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        1. 如圖1所示,在邊長為12的正方形AA′A′1A1中,BB1∥CC1∥AA1,且AB=3,BC=4,AA′1分別交BB1,CC1于點P、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A′1與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1,請在圖2中解決下列問題:
          (1)求證:AB⊥PQ;
          (2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.
          (3)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值.
          【答案】分析:(1)由AB⊥BC.AB⊥BB1,得AB⊥平面BC1,易得AB⊥PQ;
          (2)過M作MN∥CQ交AQ于N,連接PN,由PB∥CQ得MN∥PB,從而四邊形PBMN為平行四邊形,對邊平行BM∥PN,由線面平行的判定定理得BM∥平面APQ;
          (3)先求得各點的坐標,從而得出相應向量的坐標,再求出平面APQ的法向量,由線面角公式求解.
          解答:解:證明:(1)證明:因為AB=3,BC=4,
          所以AC=5,從而AC2=AB2+BC2,
          即AB⊥BC.(2分)
          又因為AB⊥BB1,而BC∩BB1=B,
          所以AB⊥平面BC1,又PQ?平面BC1
          所以AB⊥PQ;(4分)

          (2)解:過M作MN∥CQ交AQ于N,連接PN,
          因為AM:MC=3:4∴AM:AC=MN:CQ=3:7(6分)
          ∴MN=PB=3,∵PB∥CQ∴MN∥PB,∴四邊形PBMN為平行四邊形∴BM∥PN,所以BM∥平面APQ(8分)

          (3)解:由圖1知,PB=AB=3,QC=7,分別以BA,BC,BB1為x,y,z軸,
          則A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7)(10分)
          設平面APQ的法向量為
          所以,
          令a=1,則c=1,b=-1,
          所以直線BC與平面APQ所成角的正弦值為(12分)
          (注)用其他解法可相應給分.
          點評:本題主要考查線與線,線與面,面與面的位置關系和線面平行和線面垂直的判定定理及空間向量的應用,培養(yǎng)學生轉化的能力.
          練習冊系列答案
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          (1)求證:AB⊥PQ;
          (2)在底邊AC上有一點M,滿足AM;MC=3:4,求證:BM∥平面APQ.
          (3)求直線BC與平面APQ所成角的正弦值.

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          (Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1
          (Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;
          (Ⅲ)求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值.
          精英家教網

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          精英家教網如圖1所示,在邊長為12的正方形AA′A1′A1中,點B,C在線段AA′上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點B1、P,作CC1∥AA1,分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q,將該正方形沿BB1、CC1折疊,使得A′A1′與AA1重合,構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1
          (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,求證:AB⊥平面BCC1B1
          (2)求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比.

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          (Ⅰ)求證:AB⊥平面BCC1B1;
          (Ⅱ)求四棱錐A-BCQP的體積;

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          如圖1所示,在邊長為的正方形中,,且,分別交于點,將該正方形沿、折疊,使得重合,構成如圖2所示的三棱柱

          (Ⅰ)求證:

          (Ⅱ)在底邊上有一點,,

          求證:

          (III)求直線與平面所成角的正弦值.

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