Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）=f（-x-6），且當(dāng)x≥-3時(shí)，f（x）=4^x+1-2，若存在k∈Z，使方程f（x）=0的實(shí)根x₀∈（k-1，k），則k的取值集合是（　�。�

A．{-5，-1}

B．{-3，0}

C．{-4，0}

D．{-5，0}

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線 x=-3對(duì)稱，當(dāng)x≥-3時(shí)，由函數(shù)的解析式求得k=0．當(dāng)x≤-3時(shí)，由函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱性可得k=-5，由此求得k的取值集合．

解答：解：∵f（x）=f（-x-6），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線 x=-3對(duì)稱．
當(dāng)x≥-3時(shí)，f（x）=4^x+1-2，由于f（-1）=-1，f（0）=2，∴f（-1）•f（0）＜0，故f（x）=0的實(shí)根x₀∈（-1，0），此時(shí)，k=0．
故當(dāng)x≤-3時(shí)，由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線 x=-3對(duì)稱，可得f（x）=0的實(shí)根x₀∈（-6，-5），此時(shí)，k=-5，
綜上可得，k的取值集合是{-5，0}，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間的方法，屬于基礎(chǔ)題．