Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求證：BD⊥AA₁；
（2）若E為棱BC上的一點(diǎn)，且AE∥平面DCC₁D₁，求線段BE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）取AC的中點(diǎn)O，易證得B、O、D三點(diǎn)共線，進(jìn)而B(niǎo)D⊥AC，由平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得BD⊥平面AA₁C₁C，再由線面垂直的性質(zhì)得到BD⊥AA₁；
（2）由AE∥平面DCC₁D₁，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得AE∥CD，結(jié)合已知及等邊三角形三線合一，可得E為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段BE的長(zhǎng)度．

解答：證明：（1）取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO
由AD=CD，AB=BC可得
DO⊥AC，BO⊥AC，
故B、O、D三點(diǎn)共線
即BD⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD
∴BD⊥平面AA₁C₁C
又∵AA₁?平面AA₁C₁C
∴BD⊥AA₁；
解：（2）∵AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1
故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC為等邊三角形
∵AE∥平面DCC₁D₁，
AE?平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC₁D₁=CD
故AE∥CD，故∠CAE=30°
根據(jù)等邊三角形三線合一，可得AE為△ABC中BC邊上的中線
故BE=

1

2

BC=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是面面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，（1）的關(guān)鍵是證明BOD三點(diǎn)共線，（2）的關(guān)鍵是分析出AE是正三角形ABC的中線．