Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=ax+

a-1

x

+1（a∈R），F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立？
（2）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，討論F（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立，等價(jià)于F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

≤1（x＞0）恒成立，分類討論，可得結(jié)論；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到F（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-

a-1

x

-1
∵以F（x）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤1恒成立，
∴F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

≤1（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0時(shí)恒成立．
當(dāng)a≤-1時(shí)，①在x＞0時(shí)不恒成立
a＜-1時(shí)，△=4a²-3，設(shè)u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），則

a+1＞0 △＜0

或

a+1＞0 △＞0 u(0)=1-a≥0 x=- -1 2(a+1) ＜0

∴-

3

2

＜a＜

3

2

；
（2）F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
當(dāng)a=0時(shí)，h（x）=1-x，x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）時(shí)，h′（x）≤0
∴F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞）；
當(dāng)a≠0時(shí)，由F′（x）=0可得ax²-x+1-a=0
∴x1=1，x2=

1

a-1

（i）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁=x₂，h（x）≥0，F(xiàn)′（x）≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（1，

1

a

-1）時(shí)，h（x）＜0，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（

1

a

-1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（

1

a

-1，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間是（1，

1

a

-1）；
（iii）當(dāng)a＜0時(shí)，

1

a

-1＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論是數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．