Question

【題目】圖1是由邊長為4的正六邊形，矩形，組成的一個平面圖形，將其沿，折起得幾何體，使得，且平面平面，如圖2.

（1）證明：圖2中，平面平面；

（2）設(shè)點(diǎn)M為圖2中線段上一點(diǎn)，且，若直線平面，求圖2中的直線與平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面平面，只需證平面，只需證且，要證，只需證平面，只需證，.根據(jù)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)和平面與平面垂直的判定定理即可證得；

（2）連接與交于點(diǎn)N，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理得到，得到，再以，，分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>為矩形，所以，又，，

所以平面，故，

因?yàn)?/span>為正六邊形，所以，

故，所以，即，

又因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）解：連接與交于點(diǎn)N，連接，因?yàn)?/span>平面，且平面平面，

所以，所以，所以，所以，

由（1）知；，平面，故以，，分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

，， ，，

所以，，，

設(shè)為平面的一個法向量，

則，取，則，，所以，

設(shè)直線與平面所成角為，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.