Question

矩陣的一種運算

a b c d

x y

=

ax+by cx+dy

，該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣

a b c d

的作用下變換成點（ax+by，cx+dy），若曲線x²+4xy+2y²=1在矩陣

1 a b 1

的作用下變換成曲線x²-2y²=1，則a+b的值為

2

．

Answer 1

分析：設(shè)（x，y）是曲線x²+4xy+2y²=1的點，在矩陣

1 a b 1

的作用下的點為（x′，y′），得出關(guān)于a，b的方程組，從而解決問題．

解答：設(shè)（x，y）是曲線x²+4xy+2y²=1的點，在矩陣

1 a b 1

的作用下的點為（x′，y′），
即

x′=x+ay y′=bx+y

又x′²-2y′²=1，∴（x+ay）²-2（bx+y）²=1，（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1．
故

1-2b=1 2a-4b=4 a2-2=2

⇒

a=2 b=0.

∴a+b=2．
故答案為：2

點評：本小題主要考查幾種特殊的矩陣變換、曲線與方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，解答的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求解a，b；屬于基礎(chǔ)題．