Question

設a，b∈R⁺，a+b=1．
（1）證明：ab+

1

ab

≥4+

1

4

=4

1

4

；
（2）探索、猜想，將結(jié)果填在括號內(nèi)；
a²b²+

1

a2b2

≥（

 

）；
a³b³+

1

a3b3

≥（

 

）；
（3）由（1）（2）你能歸納出更一般的結(jié)論嗎？請證明你得出的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先利用基本不等式求出ab的范圍，通過將ab換元，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，證出不等式．
（2）由（1）的證明過程歸納出兩個不等式
（3）有（1）（2）三個不等式歸納猜測出一般的不等式，類比（1）的證明，將aⁿbⁿ換元，通過導數(shù)求出函數(shù)的最小值，證出不等式．

解答：（1）證明：∵a+b=1
∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

令ab=t則t∈（0，

1

4

]
∴ab+

1

ab

=t+

1

t

(t∈(0，

1

4

])
令y=t+

1

t

(t∈(0，

1

4

])
y′=1-

1

t2

＜0
∴y=t+

1

t

單調(diào)遞減
∴當t=

1

4

時，有最小值4+

1

4

=4

1

4

故ab+

1

ab

≥4

1

4

（2）a2b2≤

1

16

，a3b3≤

1

64

，
由（1）歸納猜測a2b2+

1

a2b2

 ≥16

1

16

，a，3b3+

1

a3b3

≥64

1

64

（3）anbn+

1

anbn

≥4n

1

4n

證明：令aⁿbⁿ=m由（1）知，m∈(0，(

1

4

)n)
令y=anbn+

1

anbn

=m+

1

m

m∈(0，(

1

4

)n)
由（1）知當m=(

1

4

)n時，函數(shù)有最小值
∴anbn+

1

anbn

≥4n

1

4n

點評：本題考查換元的方法、導數(shù)研究函數(shù)的最值、通過特殊歸納出一般結(jié)論、類比證明方法．