Question

長度為(>0)的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，且滿足(A為常數(shù)，且)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C；

(2)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)M(1，0)作兩條互相垂直的直線和，和分別與曲線C相交于點(diǎn)N和Q(N、Q都異于點(diǎn)M)，試問△MNQ能不能是等腰三角形?若能，請說明這樣的三角形有幾個(gè)；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：(1)依題意，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(，0)、(0，)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．

    由，得)

                               =()．

    ∴  即

∵|AB|=，∴．

∴，

∴點(diǎn)P的軌跡方程C是．

(2)當(dāng)時(shí)，曲線C的方程是，故點(diǎn)M(1，0)在曲線C上．

依題意，可知直線和都不可能與坐標(biāo)軸平行，可設(shè)直線方程為，

直線方程為，不妨設(shè)．

由消去y得

    ．

由，又，得，

    ∴

           =

           =．

    同理可得

                 =．

    假設(shè)△MNQ是等腰三角形，則|MN|=|MQ|，

    即，

化簡得，

∴或    ①

①式的判別式△=，

若△=，解得，此時(shí)①式無解；

若△==0，解得，由①式得=1；

若△=>0，解得，由①式得

    (可以驗(yàn)證≠1且>0)．

綜上所述，△MNQ可以是等腰三角形，當(dāng)0<≤時(shí)，這樣的三角形有一個(gè)；

當(dāng)時(shí)，這樣的三角形有三個(gè)．