Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，直線與橢圓交于兩點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，M是橢圓的上頂點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，直線與直線：

分別相交于點(diǎn)，問當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓

被軸截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由.

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為，所以：…………3分

解得：， …………………………………………………………5分

所以橢圓方程是：；…………………………………………………………6分

當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，又點(diǎn)坐標(biāo)是，由圖可以得到兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是，以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為6，猜測(cè)當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為定值6，………………………………………………………………8分

證明如下：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則直線的方程是：，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)是，…………………9分

由方程組得到：，

所以：，………………………………………11分

從而：

=0，

所以：以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長(zhǎng)為定值6。……………13分