Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，求證：直線平行于軸.

 

Answer 1

(1). ;(2).詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）依題意知，動(dòng)點(diǎn)滿足：點(diǎn)到定點(diǎn)與到軸的距離之差為，由此可得，進(jìn)而求曲線C方程；

（2）法Ⅰ：設(shè)，求出直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立得，得，求出直線的方程為 進(jìn)而點(diǎn)的坐標(biāo)為 直線平行于軸；

法Ⅱ：設(shè)的坐標(biāo)為，求出的方程為得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 由于， 則直線的方程為得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則軸；當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，故命題得證.

試題解析：（1）依題意： 2分

4分

6分

注：或直接用定義求解.

（2）法Ⅰ：設(shè)，直線的方程為

由 得 8分

直線的方程為 點(diǎn)的坐標(biāo)為 10分

直線平行于軸. 13分

法Ⅱ：設(shè)的坐標(biāo)為，則的方程為

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為， 8分

直線的方程為

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. 11分

軸；當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，

直線平行于軸. 13分.

考點(diǎn)：1. 軌跡方程；2. 直線與圓錐曲線的綜合問題．