Question

向量

a

=(cosx，2cosx)，

b

=(2cosx，sin(π-x))，若f(x)=

a

•

b

+1
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=

a

•

b

+1，利用兩個向量的數(shù)量積公式、三角恒等變換求得f（x）的解析式．
（2）由（1）可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令 2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z，可得函數(shù)f（x）的對稱軸方程．
（3）若x∈[0，

π

2

]，則

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意可得 f（x）=

a

•

b

+1=2cos²x+2cosxsin（π-x）=cos2x+1+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1．
（2）由（1）可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
令 2x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z，
故函數(shù)f（x）的對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z．
（3）若x∈[0，

π

2

]，則

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
故當2x+

π

4

=

5π

4

時，f（x）取得最小值為

2

×（-

2

2

）=-1；
當2x+

π

4

=

π

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

×1=

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．