Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=（x-1）²；②f（x）=|2^x-1|；③f(x)=cos

π

2

x；④f（x）=e^x．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有

 

（填出所有滿足條件的函數(shù)序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說(shuō)明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來(lái)說(shuō)明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=（x-1）²存在“穩(wěn)定區(qū)間”
如當(dāng)0＜x＜1時(shí)，0＜y＜1．“穩(wěn)定區(qū)間”：[0，1]；
②中，由冪函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的“穩(wěn)定區(qū)間”；
③中，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]為函數(shù) f(x)=cos

π

2

x的“穩(wěn)定區(qū)間”；
④中，若f（x）=e^x存在“穩(wěn)定區(qū)間”
則e^a+1=a，e^b+1=b
即e^x=x-1有兩個(gè)解，即函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=x-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
這與函數(shù)y=e^x與函數(shù)y=x-1的圖象沒(méi)有交點(diǎn)相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，
即f（x）=e^x不存在“穩(wěn)定區(qū)間”
故答案：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵．