Question

已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．
（1）若當∠A=θ時，cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，求θ的值；
（2）設∠A的對邊長a=1，當cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內角的關系，我們易消去表達式中的B，C角，然后配方成類二次函數(shù)的解析式的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，θ的值；
（2）根據(jù)（1）中結論，結合∠A的對邊長a=1，及余弦定理，我們易求出S的最大值．

解答：解：（1）∵

B+C

2

=

π-A

2

，
則cosA+2cos(

B+C

2

)
=cosA+2sin(

A

2

)
=1-2sin2

A

2

+2sin

A

2

=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

易得當sin

a

2

=

1

2

，即A=

π

3

時，cosA+2cos(

B+C

2

)取到最大值，
故θ=

π

3

，
（2）由（1）的結論
S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc
又∵a=1，即A=

π

3

由余弦定理可得bc≤1即S≤

3

4

故△ABC面積的最大值

3

4

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，對于三角函數(shù)的最值有兩種處理方法，一是用輔助角公式轉化成正弦型函數(shù)的形式，二是配方成類二次函數(shù)的形式．