Question

（2013•四川）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點(diǎn)，P是線段AD上異于端點(diǎn)的點(diǎn)．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，試作出過(guò)點(diǎn)P與平面A₁BC平行的直線l，說(shuō)明理由，并證明直線l⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l交AC于點(diǎn)Q，求三棱錐A₁-QC₁D的體積．（錐體體積公式：V=

1

3

Sh，其中S為底面面積，h為高）

Answer 1

分析：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線l和BC平行，根據(jù)直線和平面平行的判定定理可得直線l與平面A₁BC平行．
等腰三角形ABC中，根據(jù)等腰三角形中線的性質(zhì)可得AD⊥BC，故l⊥AD．再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．再利用直線和平面垂直的判定定理可得直線l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，證明DE⊥平面AA₁C₁C．直角三角形ACD中，求出AD的值，可得 DE 的值，從而求得 S△QA1C1=

1

2

•A1C1•AA1的值，再根據(jù)三棱錐A₁-QC₁D的體積 VA1-QC1D=VD-QA1C1=

1

3

•S△QA1C1•DE，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作直線l和BC平行，由于直線l不在平面A₁BC內(nèi)，而BC在平面A₁BC內(nèi)，
故直線l與平面A₁BC平行．
三角形ABC中，∵AB=AC=2AA₁=2，∠BAC=120°，D，D₁分別是線段BC，B₁C₁的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴l(xiāng)⊥AD．
再由AA₁⊥底面ABC，可得 AA₁⊥l．
而AA₁∩AD=A，
∴直線l⊥平面ADD₁A₁ ．
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，
∵側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，故三棱柱ABC-A₁B₁C為直三棱柱，
故DE⊥平面AA₁C₁C．
直角三角形ACD中，∵AC=2，∠CAD=60°，∴AD=AC•cos60°=1，∴DE=AD•sin60°=

3

2

．
∵S△QA1C1=

1

2

•A1C1•AA1=

1

2

×2×1=1，
∴三棱錐A₁-QC₁D的體積 VA1-QC1D=VD-QA1C1=

1

3

•S△QA1C1•DE=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行、垂直的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題．