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        1. 在三棱錐S-ABC中,底面是邊長為的正三角形,點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn),側(cè)棱SB和底面成45°角.
          (1)若D為側(cè)棱SB上一點(diǎn),當(dāng)為何值時(shí),CD⊥AB;
          (2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.

          【答案】分析:(1)以O(shè)B、OC、OS為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由SB和底面成45°角得Rt△SOB中,S0=OB=3,從而得到A、B、C、S各點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)(0<λ<1),算出向量=(3-3λ,-,3λ),結(jié)合=(3,,0)且,解關(guān)于λ的方程得,即可求出滿足條件的值;
          (2)利用垂直向量數(shù)量積為0的方法,列方程解出是平面SBC的一個(gè)法向量,而是平面ACB的一個(gè)法向量,從而算出cos<>=,由此即可得出二面角S-BC-A的余弦值大小.
          解答:解:(1)根據(jù)題意,OB、OC、OS所在直線兩兩互相垂直
          因此以O(shè)B、OC、OS為x軸、y軸和z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示
          ∵SB和底面成45°角,∴Rt△SOB中,∠SB0=45°,S0=OB==3
          由此可得C(0,,0),A(0,-,0),S(0,0,3),B(3,0,0)
          設(shè)(0<λ<1),則
          =(3-3λ,0,3λ)
          ==(3-3λ,0,3λ)-(0,,0)=(3-3λ,-,3λ)
          =(3,,0),且
          =3(3-3λ)+×(-)+0=0,解之得
          ,可得,即=時(shí)CD⊥AB;
          (2)設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為
          ,取z=1得
          是平面ACB的一個(gè)法向量
          所成角(或其補(bǔ)角)就是二面角S-BC-A的平面角
          ∵cos<>===
          由圖形可知二面角S-BC-A是銳二面角
          ∴二面角S-BC-A的余弦值大小為arccos
          點(diǎn)評:本題在三棱錐中探索直線與直線垂直問題,并求二面角的大小.著重考查了利用空間向量的方法研究線面角、二面角大小和空間向量的夾角公式等知識,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為邊長為1的等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)證明:SA⊥BC;
          (Ⅲ)求三棱錐S-ABC的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
          (Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
          3


          (Ⅰ)求證SA⊥SC;
          (Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
          2S
          l
          (其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
          ①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn),將三角形ABC分割成三個(gè)小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
          ②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
          S=
          1
          2
          ar+
          1
          2
          br+
          1
          2
          cr
          =
          1
          2
          lr
          ,則r=
          2S
          l

          類比上述方法,請給出四面體內(nèi)切球半徑的計(jì)算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=AB=BC=AC=
          2
          SB=
          2
          SC
          ,O為BC中點(diǎn).
          (1)求證:SO⊥平面ABC
          (2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)E,使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
          15
          5
          ?若存在,確定E點(diǎn)位置;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,側(cè)面△SAB,△SBC,△SAC的面積分別為1,
          3
          2
          ,3,則此三棱錐的外接球的表面積為(  )

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          同步練習(xí)冊答案