Question

在三棱錐S-ABC中，底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)S在底面ABC上的射影O恰是AC的中點(diǎn)，側(cè)棱SB和底面成45°角．
（1）若D為側(cè)棱SB上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，CD⊥AB；
（2）求二面角S-BC-A的余弦值大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O(shè)B、OC、OS為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由SB和底面成45°角得Rt△SOB中，S0=OB=3，從而得到A、B、C、S各點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)（0＜λ＜1），算出向量=（3-3λ，-，3λ），結(jié)合=（3，，0）且，解關(guān)于λ的方程得，即可求出滿足條件的值；
（2）利用垂直向量數(shù)量積為0的方法，列方程解出是平面SBC的一個(gè)法向量，而是平面ACB的一個(gè)法向量，從而算出cos＜＞=，由此即可得出二面角S-BC-A的余弦值大小．
解答：解：（1）根據(jù)題意，OB、OC、OS所在直線兩兩互相垂直
因此以O(shè)B、OC、OS為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
∵SB和底面成45°角，∴Rt△SOB中，∠SB0=45°，S0=OB==3
由此可得C（0，，0），A（0，-，0），S（0，0，3），B（3，0，0）
設(shè)（0＜λ＜1），則
=（3-3λ，0，3λ）
∴==（3-3λ，0，3λ）-（0，，0）=（3-3λ，-，3λ）
∵=（3，，0），且
∴=3（3-3λ）+×（-）+0=0，解之得
故，可得，即=時(shí)CD⊥AB；
（2）設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為
則，取z=1得
∵是平面ACB的一個(gè)法向量
∴所成角（或其補(bǔ)角）就是二面角S-BC-A的平面角
∵cos＜＞===
由圖形可知二面角S-BC-A是銳二面角
∴二面角S-BC-A的余弦值大小為arccos．
點(diǎn)評：本題在三棱錐中探索直線與直線垂直問題，并求二面角的大小．著重考查了利用空間向量的方法研究線面角、二面角大小和空間向量的夾角公式等知識，屬于中檔題．