Question

若S_n是公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列S₁，S₂，S₄的公比；
（2）若S₂=4，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）條件下，若b_n=a_n-14，求{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）通過分類討論，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由

S

2 2

=S₁S₄得出（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化為d=2a₁．
得

S2

S1

=

2a1+d

a1

=4，
∴數(shù)列S₁，S₂，S₄的分比為4．
（2）由S₂=4=2a₁+d=4a₁得出a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（3）由（2）可得b_n=2n-1-14=2n-15．
令b_n=2n-15＞0，
得n＞

15

2

，
∴當(dāng)n≤7時(shí)，T_n=-[（2-15）+（4-15）+…+（2n-15）]=-（2×

n(n+1)

2

-15n）=14n-n²；
當(dāng)n≥8時(shí)，T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+bn
=b₁+b₂+…+b_n-2（b₁+b₂+…+b₇）
=

n(-13+2n-15)

2

+2T₇
=n²-14n+98．
∴Tn=

14n-n2，n≤7 n2-14n+98，n≥8

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、分類討論、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等是解題的關(guān)鍵．