Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線：，求的值；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)或．(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）求出曲線再點(diǎn)出的切線方程，根據(jù)兩直線垂直的條件求出a的值；（2）對(duì)a分情況討論，得出單調(diào)性，由單調(diào)性求出最小值，再討論最小值的大小來確實(shí)是否有零點(diǎn)。

試題解析：（1），

因?yàn)?/span>在點(diǎn)處垂直于直線 ，

所以，，解得或．

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．

①當(dāng)時(shí)， ，無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，得．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴．

因?yàn)?/span>，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)→時(shí)，，，

∴當(dāng)時(shí)，即，，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，令，得．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴．

當(dāng)→和當(dāng)→，均有，

∴當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)．