Question

5、已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f （x）滿足f²（-x）=f²（x），若方程f （x）=0有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為

0

．

Answer 1

分析：由f²（-x）=f²（x）得f（-x）=±f（x）從而得到函數(shù)為奇函數(shù)或是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)知f （x）=0的2009個(gè)實(shí)數(shù)解關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以這些解的和為0．

解答：解：∵f²（-x）=f²（x）∴f（-x）=±f（x）
當(dāng)f（-x）=-f（x）時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴方程f （x）=0的2009個(gè)實(shí)數(shù)解關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為0
當(dāng)f（-x）=f（x）時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，
∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
∴∴方程f （x）=0的2009個(gè)實(shí)數(shù)解關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為0
綜上這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為0
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生的想象能力，是個(gè)基礎(chǔ)題．