Question

已知函數(shù)，f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1 ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）丨上總存在極值？

Answer 1

分析：利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），
對于本題的（1）在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)可知：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，于是可求m的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f′(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
當a=1時，f′(x)=

1-x

x

，(x＞0)
令導數(shù)大于0，可解得0＜x＜1，令導數(shù)小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）
（Ⅱ） f′(2)=-

a

2

=1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
∴-

37

3

＜m＜-9．

點評：此題是個難題．本題考查利用函數(shù)的導數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，已知函數(shù)曲線上一點求曲線的切線方程即對函數(shù)導數(shù)的幾何意義的考查，考查求導公式的掌握情況．含參數(shù)的數(shù)學問題的處理，構造函數(shù)求解證明不等式問題．