Question

設函數(shù)f(x)=a?b，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的圖象經(jīng)過點(

π

4

，2)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)的周期及其求法，
（1）由

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），我們易出求f（x）=

a

•

b

的解析式（含參數(shù)m），同由y=f（x）的圖象經(jīng)過點(

π

4

，2)，將點的坐標代入可以得到一個關于m的方程，解方程即可求出m的值．
（2）由（1）的結論，我們可以寫出函數(shù)f（x）的解析式，利用輔助角公式易將其轉(zhuǎn)化為一個正弦型函數(shù)，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的周期T=

2π

ω

，求出f（x）的最小正周期．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x，
∵圖象經(jīng)過點(

π

4

，2)，
∴f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
解得m=1．
（2）當m=1時，
f(x)=1+sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
∴T=

2π

2

=π

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A確定，由周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．