Question

【題目】數(shù)列的前n項(xiàng)組成集合，從集合中任取個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為（若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如：對(duì)于數(shù)列，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；

（1）若集合，求當(dāng)時(shí)，的值；

（2）若集合，證明：時(shí)集合的與時(shí)集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關(guān)系式，其中；

（3）對(duì)于（2）中集合.定義，求（用n表示）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）利用的定義可得的值.

（2）時(shí)，集合的中乘積由兩部分構(gòu)成，一部分是乘積中含，另一部分不含，從而可得之間的關(guān)系.

（3）可先證明所有非空子集中各元素的乘積和為，從而可得.

（1）時(shí)，，

所以，，.

（2）時(shí)，集合的中各乘積由兩部分構(gòu)成，

一部分是乘積中含因數(shù)，乘積的其他因數(shù)來(lái)自集合，故諸乘積和為；

另一部分不含，乘積的所有因數(shù)來(lái)自集合，故諸乘積的和為.

故.

（3）我們先證明一個(gè)性質(zhì)：

所有非空子集中各元素的乘積和為.

證明：考慮的展開式，該展開式共有項(xiàng)，

每一項(xiàng)均為各因式中選取或后的乘積（除去各項(xiàng)均選1）.

對(duì)于的任意非空子集，

該集合中各元素的乘積為的展開式中的某一項(xiàng)：即第個(gè)因式選擇， ，其余的因式選擇1，

注意到非空子集的個(gè)數(shù)為，

故的所有非空子集中各元素的乘積均在的展開式中恰好出現(xiàn)一次，

所以所有非空子集中各元素的乘積和為.

故對(duì)于，

.