Question

（20分）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若的頂點(diǎn)P在第一象限的雙曲線上移動(dòng), 求的內(nèi)切圓的圓心軌跡以及該內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)軌跡。

Answer 1

解析:如圖，記雙曲線在軸上的兩頂點(diǎn)為A(1, 0)， B(-1, 0)，G為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，H為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)，K為的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)。則有

          ---------------------------------   5分

由雙曲線的定義知，G必在雙曲線上，于是G與A(1, 0)重合，是定點(diǎn)。

而。根據(jù)圓外一點(diǎn)到該圓的兩切點(diǎn)的距離相等，所以的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧。------- 10分

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090727/20090727090937012.gif' width=55>是在第一象限的曲線上移動(dòng)，當(dāng)沿雙曲線趨于無窮時(shí)，與軸正向的交角的正切的極限是

即 。 故點(diǎn)H的軌跡方程為 (極坐標(biāo)形式)

 ，    （）       --------------------------------- 15分

也可以用直角坐標(biāo)形式。

 

由于G與A(1, 0)重合，是定點(diǎn)，故該內(nèi)切圓圓心的軌跡是直線段，方程為

 （）。            -------------------------------- 20分