Question

（2013•崇明縣二模）已知函數(shù)f(x)=sinx+acos2

x

2

（a為常數(shù)，a∈R），且x=

π

2

是方程f（x）=0的解．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）值域?yàn)?!--BA-->

[-2，

2

-1]

．

Answer 1

分析：利用x=

π

2

是方程f（x）=0的解．求出a，然后通過二倍角的余弦函數(shù)兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后求解函數(shù)的值域．

解答：解：因?yàn)?span id="o1ghsbj" class="MathJye">x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
所以0=sin

π

2

+acos2

π

4

，所以=-2，
f(x)=sinx-2cos2

x

2

=sinx-cosx-1=

2

sin（x-

π

4

）-1，
x∈[0，π]，所以x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，

2

sin（x-

π

4

）-1∈[-2，

2

-1]．
故答案為：[-2，

2

-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦函數(shù)，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)值域的求法，考查計(jì)算能力．