Question

【題目】已知橢圓： ，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

（Ⅱ）將表示成的函數(shù)，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值為2.

【解析】試題分析： 由題意及橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓離心率的定義和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解；

由題意推出，通過(guò)當(dāng) ，當(dāng)時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為

，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式以及圓的圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，轉(zhuǎn)化求解，利用基本不等式求出最值即可。

解析：（Ⅰ）橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，半短軸長(zhǎng)，半焦距，

焦點(diǎn)坐標(biāo)是， ，離心率是；

（Ⅱ）易知，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)方程為或，

此時(shí)

當(dāng)時(shí)，易知切線(xiàn)方程斜率不為0，可設(shè)切線(xiàn)的方程為： ，

即，則，得： ①

聯(lián)立： ，得： ，整理：

其中

②

代入②：，

而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)．

綜上， 的最大值為2.