Question

（本小題滿分13分）

已知（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）。

   （1）求函數(shù)上的最小值；

   （2）是否存在實數(shù)處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；

    當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

    當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

（2）不存在，使曲線處的切線與軸垂直。

【解析】解：（1）

    令，得…………1分

    ①若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值

……2分

    ②若時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

    當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

    時，函數(shù)取得最小值…………4分

    ③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

    時，函數(shù)取得最小值…………5分

    綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；

    當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

    當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為…………6分

   （2）

   

    ……7分

    由（1）可知，當(dāng)

    此時在區(qū)間上的最小值為

    即…………9分

    當(dāng)，

    …………11分

    曲線Y在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解

    而，即方程無實數(shù)解

    故不存在，使曲線處的切線與軸垂直…………13分