Question

【題目】已知函數(shù)（其中， 為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)曲線在處的切線為，當(dāng)時(shí)，求直線在軸上截距的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是；

（2）截距的取值范圍是：

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)非負(fù)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)再正（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程，解出在軸上截距，最后利用導(dǎo)數(shù)研究截距取值范圍

試題解析：（1），

當(dāng)時(shí)， 恒成立，函數(shù)的遞增區(qū)間是；

當(dāng)時(shí)， 或.

函數(shù)的遞增區(qū)間是， ，遞減區(qū)間是；

（2）， ，

所以直線的方程為： .

令得到：截距，記，

，記

（∵），所以遞減，

∴，∴，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴，即截距的取值范圍是： .