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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          設x,y∈R,i,j為直角坐標平面內x,y軸正方向上的單位向量,若a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,|a|+|b|=4.
          (I)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (II)過點(0,m)作直線l與曲線C交于A,B兩點,若|
          OA
          +
          OB
          |=|
          OA
          -
          OB
          |,求m的取值范圍.
          分析:(1)將兩向量的模用坐標表示出來,探究發(fā)現點M到兩個定點之間的距離和為4,符合橢圓的定義.用定義法寫出其標準方程即可.
          (2)由|
          OA
          +
          OB
          |=|
          OA
          -
          OB
          知以
          OA
          ,
          OB
          為鄰邊的四邊形是矩形.故可得∵
          OA
          OB
          ,將此關系轉移成用坐標表示的方程,將此方程轉化成關于m的不等式,即可解出m的取值范圍.
          解答:解:(I)∵a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj
          又|a|+|b|=4
          (x+1)2+y2
          +
          (x-1)2+y2
          =4

          ∴點M(x,y)的軌跡C是以(-1,0)、(1,0)為焦點,長軸長為4的橢圓,故橢圓方程為
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1
          (5分)
          (II)若|
          OA
          +
          OB
          |=|
          OA
          -
          OB
          |,,則以
          OA
          ,
          OB
          為鄰邊的平行四邊形是矩形
          設直線l的方程為y=kx+m,l與C的交點A(x1,y1)、B(x2,y2
          OA
          OB
          ∴x1x2+y1y2=0    (*)
          y=kx+m
          x2
          4
          +
          y2
          3
          =1 

          得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0
          x1+x2=-
          8km
          3+4k2
          x1x2=
          4m2-12
          3+4k2

          y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
          y1y2=
          3m2-12k2
          3+4k2

          將①②代入(*)得7m2-12-12k2=0
          ∵12k2=7m2-12,k2≥0
          ∴7m2-12≥0
          m2
          12
          7

          又△>0,得12k2-3m2+9>0
          ∴7m2-12-3m2+9>0
          m2
          3
          4

          由③④得m2
          12
          7

          m≤-
          2
          21
          7
          或m≥
          2
          21
          7
          (13分)
          點評:本題考查向量與圓錐曲線相接合的題,其特征一般是用向量的方法來給出題設條件,然后再利用圓錐曲線的相關知識來時行計算,此類題一般運算量較大,符號運算對,題目難度較大.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          設x,y∈R,
          i
          ,
          j
          為直角坐標平面內x軸y軸正方向上的單位向量,若
          a
          =x
          i
          +(y+2)
          j
          ,
          b
          =x
          i
          +(y-2)
          j
          ,且|
          a
          |+|
          b
          |=8
          (Ⅰ)求動點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)設曲線C上兩點AB,滿足(1)直線AB過點(0,3),(2)若
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          ,則OAPB為矩形,試求AB方程.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設x,y∈R,
          i
          ,
          j
          是直角坐標平面內x,y軸正方向上的單位向量,若
          a
          =x
          i
          +(y+3)
          j
          ,
          b
          =x
          i
          +(y-3)
          j
          |
          a
          |+|
          b
          |=6
          ,則點M(x,y)的軌跡是( 。

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          設x,y∈R,
          i
          、
          j
          ,為直角坐標平面內x軸,y軸正方向上的單位向量,若向量
          a
          =x
          i
          +(y+2)
          j
          ,
          b
          =x
          i
          +(y-2)
          j
          ,且|
          a
          |+|
          b
          |=8.
          (1)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)過點(0,3)作直線l與曲線C交于A、B兩點.設
          OP
          =
          OA
          +
          OB
          ,是否存在這樣的直線l,使得四邊形OAPB為菱形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2012•西山區(qū)模擬)設x,y∈R,
          i
          ,
          j
          為直角坐標平面內x,y軸正方向上單位向量,若向量
          a
          =(x+
          3
          )
          i
          +y
          j
          b
          =(x-
          3
          )
          i
          +y
          j
          ,且|
          a
          |+|
          b
          |=2
          6

          (1)求點M(x,y)的軌跡C的方程;
          (2)若直線L與曲線C交于A、B兩點,若
          OA
          OB
          =0
          ,求證直線L與某個定圓E相切,并求出定圓E的方程.

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          同步練習冊答案