Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)m（-1，0），N（1，0）連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）．
（I） 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（II） 試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀：
（III） 當(dāng)λ=-2時(shí)，過(guò)定點(diǎn)F（0，1）的直線l與軌跡C交于A、b兩點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零，所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，由此能夠?qū)С鰟?dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）；當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）；當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）；當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)）．
（Ⅲ）當(dāng)λ=-2時(shí)，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1），由題意知，l的斜率存在．設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程中整理得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此入手能夠求出OAB的面積取最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零
所以kPM•kPN=

y

x+1

•

y

x-1

=λ，
整理得x2-

y2

λ

=1（λ≠0，x≠±1）（3分）
（Ⅱ）①當(dāng)λ＞0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（除去頂點(diǎn)）
②當(dāng)-1＜λ＜0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)）
③當(dāng)λ=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心，1的半徑的圓除去點(diǎn)（-1，0），（1，0）
④當(dāng)λ＜-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓（除去短軸的兩個(gè)端點(diǎn)）（7分）
（Ⅲ）當(dāng)λ=-2時(shí)，軌跡C的橢圓x2+

y2

2

=1（x≠±1）
由題意知，l的斜率存在
設(shè)l的方程為y=kx+1，代入橢圓方程中整理得
（k²+2）x²+2kx-1=0（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂的方程（*）的兩個(gè)實(shí)根
∴x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

（9分）
∴S△OAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

 |x1-x2| •

1

k2+1

=

1

2

|x1-x2|
=

1

2

(x1+x2) 2-4x1x2

=

1

2

4k2 (k+2)2 + 4 k2+2

（11分）
=

2

1 (k2+1)+ 1 k2+1 +2

≤

2

2

當(dāng)k=0時(shí)，取“=”
∴k=0時(shí)，△OAB的面積取最大值為

2

2

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和均值不等式的合理運(yùn)用．