Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x-2

(a，b∈R)．
（1）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）若f（x）的反函數(shù)是它本身，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)求反函數(shù)的步驟，先用y表示出x，再交換兩者的位置即可得到f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（2）若f（x）=f^-1（x），由于兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，故可由同一性得到參數(shù)a的方程，解出a．

解答：解：（1）由y=

ax+b

x-2

，則y≠a，∴x=

2y+b

y-a

，
∴反函數(shù)f^-1（x）=

2x+b

x-a

（x≠a）．
（2）由f（x）=f^-1（x），有

2x+b

x-a

=

ax+b

x-2

，
使上式對(duì)x≠2且x≠a都成立，則a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求反函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解反函數(shù)的定義，根據(jù)定義求出反函數(shù)，（2）中利用函數(shù)相同，根據(jù)同一性求出參數(shù)的方程求參，這是同一性的一種重要運(yùn)用，題后要總結(jié)一下．