Question

已知單位向量

OA

和

OB

的夾角為90°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，則xy的取值范圍是

[0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，且向量的模都是1，且

OA

•

OB

=0，平方可得1=x²+y²≥2xy，再由x，y∈[0，1]，可得xy的范圍．

解答：解：由

OC

=x

OA

+y

OB

(x，y∈R)，向量

OA

和

OB

的夾角為90°，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1，平方可得
1=x²+y²≥2xy，得xy≤

1

2

，而點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，得x，y∈[0，1]，
于是，0≤xy≤

1

2

，
故答案為[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義以及基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．