如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓
的離心率e=
,左右兩個(gè)焦分別為
.過右焦點(diǎn)
且與
軸垂直的
直線與橢圓相交M、N兩點(diǎn),且|MN|=1.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B,動(dòng)點(diǎn)P滿足
,
()試求點(diǎn)P的軌跡方程,使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓
上.
(Ⅰ) . …………………6分
(Ⅱ)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或
.…………………14分
(Ⅰ)∵軸,∴
,由橢圓的定義得:
, ……………2分
∵,∴
,
又得
∴
………………4分
∴,∴所求橢圓C的方程為
. …………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B為(0,-1),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
則,
, 由
-4得-
,
∴點(diǎn)P的軌跡方程為 …………………8分
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為,則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得:
,
解得:,…………………10分
∵點(diǎn)在橢圓上,
∴ ,
整理得解得
或
…………………12分
∴點(diǎn)P的軌跡方程為或
,經(jīng)檢驗(yàn)
和
都符合題設(shè),
∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或
.…………………14分
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