Question

（2013•寧波二模）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=

2

．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB中點(diǎn)E，連PE、CE，由等腰三角形的性質(zhì)可得PE⊥AB．再利用勾股定理的逆定理可得PE⊥CE．利用線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．再利用面面垂直的判定定理即可證明．
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（Ⅰ）證明：如圖1所示，取AB中點(diǎn)E，連PE、CE．
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，∴PE⊥AB．
∵PE=1，CE=

3

，PC=2，即PE²+CE²=PC²．
由勾股定理的逆定理可得，PE⊥CE．
又∵AB?平面ABCD，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD．
而PE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以AB中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，1），

AC

=（

3

，1，0），

PC

=（

3

，0，-1），

DC

=（0，2，0）．        
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)是平面PAC的一個(gè)法向量，
則

n1 • AC =0 n1 • PC =0

，即

3 x1+y1=0 3 x1-z1=0

．
取x₁=1，可得y1=-

3

， z1=

3

，

n1

=(1，-

3

，

3

)．  
設(shè)

n2

=(x2，y2，z2)是平面PCD的一個(gè)法向量，
則

n2 • DC =0 n2 • PC =0

，即

2y2=0 3 x2-z2=0

．
取x₂=1，可得y2=0， z2=

3

，

n2

=(1，0，

3

)．            
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

7

7

，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是

2

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、面面垂直、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的方法等是解題的關(guān)鍵．