Question

（2006•奉賢區(qū)一模）政府決定用“對社會的有效貢獻率”對企業(yè)進行評價．a(chǎn)_n表示某企業(yè)第n年投入的治理污染的環(huán)保費用，用b_n表示該企業(yè)第n年的產(chǎn)值．a(chǎn)₁=a（萬元），且以后治理污染的環(huán)保費用每年都比上一年增加2a（萬元）；又設(shè)b₁=b（萬元），且企業(yè)的產(chǎn)值每年比上一年的平均增長率為10%.Pn=

anbn

100ab

表示企業(yè)第n年“對社會的有效貢獻率”．
（1）求該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”；
（2）試問：從第幾年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%？

Answer 1

分析：（1）因為 a₁=a，b₁=b，根據(jù)題意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b．由此能求出該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”．
（2）因為 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*），b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*），Pn=

(2n-1)a×1.1n-1b

100ab

=(2n-1)•1.1n-1%，然后再證明：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%為增函數(shù)．

解答：解：（1）因為 a₁=a，b₁=b，
根據(jù)題意：a₂=a₁+2a=3a，b₂=b₁（1+10%）=1.1b（2分）
所以 P1=

a1b1

100ab

=1%（4分）
P2=

a2b2

100ab

=

3a×1.1b

100ab

=3.3%（6分）
該企業(yè)第一年和第二年的“對社會的有效貢獻率”分別為1%和3.3%（7分）
（2）因為 a_n=a₁+2a（n-1）=（2n-1）a（n∈N^*）（9分）
b_n=b₁×（1+10%）^n-1=1.1^n-1b（n∈N^*）（11分）
所以 Pn=

(2n-1)a×1.1n-1b

100ab

=(2n-1)•1.1n-1%（12分）
下證：P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%為增函數(shù)                    （15分）
證法1：

Pn+1

Pn

=…=

2n+1

2n-1

×1.1=(1+

2

2n-1

)×1.1＞1，
又 P_n＞0，
則 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%為增函數(shù)，
證法2：P_n+1-P_n=…=（0.2n+2.1）×1.1^n-1%＞0
∴P_n+1＞P_n
則 P_n=f（n）=（2n-1）1.1^n-1%為增函數(shù)
再驗證：P₇=13×1.1⁶%≈23.01%＞20%，
P₆=11×1.1⁵%≈17.71%＜20%（17分）
故，從第七年起該企業(yè)“對社會的有效貢獻率”不低于20%（18分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．