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          設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[－1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f(－1)=f(1)=0；②對任意的u，v∈[－1，1]，都有．
          

          (1)證明：對任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．
          

          (2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．
          

          (3)在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f(x)，且使得：
          

          

          若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				答案：略
          解析：
          		



          (1)證明：由題設(shè)條件可知，當(dāng)：x∈[－1，1]時，
          

          有．
          

          即x－1≤f(x)≤1－x．
          

          (2)證明：對任意的u，v∈[－1，1]，
          

          當(dāng)時，有．
          

          當(dāng)時，有，不妨設(shè)u＜0，v＞0，且v－u＞1，
          

          所以．
          

          綜上可知：對任意的u，v∈[－1，1]，都有．
          

          (3)解：滿足所述條件的函數(shù)不存在．
          

          理由如下：假設(shè)存在函數(shù)f(x)滿足條件，則由|f(u)－f(v)|=|u－v|．
          

          u，，得．
          

          又f(1)=0，所以．
          


          又因?yàn)?/FONT>f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0．由條件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，，得．這與矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在．

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：044
			
          

						
          
設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件: 
          

          ①f(-1)=f(1)=0;
          

          ②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
          

          (1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;
          

          (2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;
          

          (3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得
          

          

          若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.
          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間［-1,1］上的函數(shù),且滿足條件:
          ①f(-1)=f(1)=0;
          ②對任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
          (1)證明對任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;
          (2)證明對任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;
          (3)在區(qū)間［-1,1］上是否存在滿足條件的奇函數(shù)y=f(x),且使得
          若存在,請舉一例;若不存在,請說明理由.
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：廣東省模擬題
				題型：證明題
			
          

						
          設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，則稱y=f(x)是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)． 
          （1）試證明對k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是區(qū)間（-1，1）上的平緩函數(shù)；
          （2）若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1． 
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)y=f(x)是定義在［-1，1］上的函數(shù)，且滿足:
          (i)f(-1)=f(1)=0;
          (ii)對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
          (1)證明對x∈［-1,1］都有x-1≤f(x)≤1-x;
          (2)證明對任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤1.
          

			
          

			
          
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