Question

在直三棱柱中，，，D、E分別是棱、，的中點(diǎn)．

（I）求證：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：（I）證明：取的中點(diǎn)G，連結(jié)EC、DG，

則∥且＝                      

    ∴四邊形為平行四邊形，

∴∥                                      

    又∵面，DG面

∴∥面                                                                           

（Ⅱ）延長(zhǎng)CA交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連結(jié)BP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥，垂足為Q，連結(jié)BQ，

∵

∴

    ∴為二面角的平面角．                                       

在Rt△ADP中，

∴

∴

∴                                                   

解法二：

（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC、分

別為軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），（0，0。2），（2，0，2），（0，2，2），D（0，0，1），E（1，1，2）．    

   ∴ ，

   

    設(shè)是平面的一個(gè)法向量．則

                                                                                                 

    ∴                                                                

    令，得

∴

∴

∵面

∴∥面                                                                                  

（Ⅱ）∵

    ∴是面的一個(gè)法向量．

    ∵∴，又                                            

   ∴

∴二面角的余弦值為.