Question

某家庭為小孩買教育保險(xiǎn)，小孩在出生的第一年父母就交納保險(xiǎn)金，數(shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），因此，歷年所交納的保險(xiǎn)金數(shù)目為a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，與此同時(shí)保險(xiǎn)公司給予優(yōu)惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利，這就是說(shuō)，如果固定利率為r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，第二年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2，…，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的保險(xiǎn)金總額．
（1）寫出T_n與T_n+1的遞推關(guān)系（n≥1）；
（2）若a₁=1，d=0.1，求{T_n}的通項(xiàng)公式．（用r表示）

Answer 1

解：（1）因?yàn)閿?shù)目為a₁，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d（d＞0），
因此，歷年所交納的保險(xiǎn)金數(shù)目為a₁，a₂，…是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，所以a_n=a₁+nd，
與此同時(shí)保險(xiǎn)公司給予優(yōu)惠的利息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利，
這就是說(shuō)，如果固定利率為r（r＞0），
那么，在第n年末，第一年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₁（1+r）^n-1，
第二年所交納的保險(xiǎn)金就變?yōu)閍₂（1+r）^n-2，…，所以T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
∴T_n+1=T_n（1+r）+a₁+nd （6分）
（2）T_n+1=T_n（1+r）+，T₁=a₁=1
用待定系數(shù)法：T_n+1+A（n+1）+B=（1+r）（T_n+An+B）
解得：A=，所以{T_n+n+}是以1為首項(xiàng)以1+r為公比的等比數(shù)列，
∴T_n+n+=
解得：T_n=（7分）
分析：（1）通過(guò)已知條件求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)條件寫出T_n與T_n+1的遞推關(guān)系（n≥1）；
（2）通過(guò)（1）的遞推關(guān)系式，利用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到{T_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查等比數(shù)列求和的基本方法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)建數(shù)列模型．