Question

在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝．

(Ⅰ) 證明：BD⊥平面PAC；

(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小為60°，求AP的值．

 

Answer 1

 (Ⅰ) 設(shè)O為AC與BD的交點(diǎn)，作DE⊥BC于點(diǎn)E．由四邊形ABCD是等腰梯形得

CE＝＝1， DE＝＝3，

所以BE＝DE，從而得∠DBC＝∠BCA＝45°，

所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD．

由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC．       …………4 分

方法一：

  (Ⅱ) 作OH⊥PC于點(diǎn)H，連接DH．由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，從而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A－PC－D的平面角，所以∠DHO＝60°……8分．

在Rt△DOH中，由DO＝，得OH＝．

在Rt△PAC中，＝．設(shè)PA＝x，可得＝．

解得x＝，即AP＝．     ………… 12分

方法二：

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖所示．由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

A(0，－，1)，    B(，0， 0)，

C(0，，0)，    D(－，0， 0)．

由PA⊥平面ABCD，得PA∥z軸，故設(shè)點(diǎn)P(0，－，t) (t＞0)．設(shè)m＝(x，y，z)為平面PDC的法向量，

由＝(－，－，0)，＝(－，，－t) 知

取y＝1，得m＝(－2，1， )．………….8分

又平面PAC的法向量為n＝(1，0，0)，

于是|cos< m，n>|＝＝＝．解得t＝，即

AP＝．  ………… 12分