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        1. 在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,ADBCBC=2AD=4,ABCD

          (Ⅰ) 證明:BD⊥平面PAC;

          (Ⅱ) 若二面角A-PC-D的大小為60°,求AP的值.

           


           (Ⅰ) 設(shè)OACBD的交點,作DEBC于點E.由四邊形ABCD是等腰梯形得

          CE=1, DE=3,

          所以BEDE,從而得∠DBC=∠BCA=45°,

          所以∠BOC=90°,即ACBD

          PA⊥平面ABCDPABD,所以BD⊥平面PAC.       …………4 分

          方法一:

            (Ⅱ) 作OHPC于點H,連接DH.由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC,故DOPC

          所以PC⊥平面DOH,從而得PCOHPCDH

          故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角,所以∠DHO=60°……8分.

          在Rt△DOH中,由DO,得OH

          在Rt△PAC中,.設(shè)PAx,可得

          解得x,即AP.     ………… 12分

          方法二:

          (Ⅱ) 由(Ⅰ)知ACBD.以O為原點,OB,OC所在直線為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示.由題意知各點坐標(biāo)如下:

          A(0,-,1),    B(,0, 0),

          C(0,,0),    D(-,0, 0).

          PA⊥平面ABCD,得PAz軸,故設(shè)點P(0,-,t) (t>0).設(shè)m=(x,yz)為平面PDC的法向量,

          =(-,-,0),=(-,-t) 知

          y=1,得m=(-2,1, ).………….8分

          又平面PAC的法向量為n=(1,0,0),

          于是|cos< m,n>|=.解得t,即

          AP.  ………… 12分

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知在四棱錐P一ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
          PA=AD=1,AB=2,E、F分別是AB、PD的中點.
          (Ⅰ)求證:AF∥平面PEC;
          (Ⅱ)求PC與平面ABCD所成角的正切值;
          (Ⅲ)求二面角P-EC-D的正切值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖.在四棱錐P一ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底    面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中點.
          (1)證明:PA∥平面EDB;
          (2)證明:平面PAC⊥平面PDB;
          (3)求三梭錐D一ECB的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知在四棱錐P一ABCD中,二面角P一AD一B為60°,∠PDA=45°,∠DAB=90°,∠PAD=90°,∠ADC=135°,
          (Ⅰ)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
          (Ⅱ)求PD與平面ABCD所成角的正弦值;
          (Ⅲ)求二面角P一CD一B的正切值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在四棱錐P一ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點.PA=PD=AD=2,點M在線段PC上 PM=
          13
          PC
          (1)證明:PA∥平面MQB;
          (2)若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (本小題滿分14分)在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD與底面ABCD垂直,PD=DC,EPC的中點,作EF于點F(Ⅰ)證明PA平面EBD

          (Ⅱ)證明PB平面EFD

          (Ⅲ)求二面角的余弦值;

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          同步練習(xí)冊答案