Question

（2013•廣州二模）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
在極坐標(biāo)系中，已知點A（1，

π

2

），點P是曲線ρsin²θ=4cosθ上任意一點，設(shè)點P到直線ρcosθ+1=0的距離為d，則丨PA丨+d的最小值為

2

．

Answer 1

分析：先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，將點A的極坐標(biāo)、直線及曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)或方程，再利用直角坐標(biāo)方程的形式，由拋物線的定義可得丨PA丨+d=|PF|+|PA|≥|AF|，當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，其和最小，再求出|AF|的值即可．

解答：解：點A（1，

π

2

）的直角坐標(biāo)為A（0，1），
曲線曲線ρsin²θ=4cosθ的普通方程為y²=4x，是拋物線．
直線ρcosθ+1=0的直角坐標(biāo)方程為x+1=0，是準(zhǔn)線．
由拋物線定義，點P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于它到焦點A（0，1）的距離，
所以當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線時，其和最小，
最小為|AF|=

2

，
故答案為：

2

．

點評：本小題主要考查點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、拋物線的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是拋物線的定義解題．