Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩個焦點(diǎn)分別為F₁(-2,0),F₂(2,0),點(diǎn)A(2,3)在橢圓C₁上,過點(diǎn)A的直線L與拋物線C₂:x²=4y交于B,C兩點(diǎn),拋物線C₂在點(diǎn)B,C處的切線分別為l₁,l₂,且l₁與l₂交于點(diǎn)P.
(1)求橢圓C₁的方程;
(2)是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點(diǎn)P?若存在,指出這樣的點(diǎn)P有幾個(不必求出點(diǎn)P的坐標(biāo));若不存在,說明理由.

Answer 1

（1）+=1  （2）存在，有2個

解析解:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),
由題意可知2a=+=8.
∴a=4,b²=a²-c²=12.
∴橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)B（x₁,）,C（x₂,）,
直線BC的斜率為k,則k=.
由y=x²,得y′=x.
∴點(diǎn)B、C處的切線l₁、l₂的斜率分別為x₁,x₂,
∴l(xiāng)₁的方程為y-=x₁(x-x₁),
即y=x₁x-,
同理,l₂的方程為y=x₂x-.
由
解得
∴P(2k,2k-3).
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|,
∴點(diǎn)P在橢圓C₁:+=1上,
∴+=1.
化簡得7k²-12k-3=0.(*)
由Δ=12²-4×7×(-3)=228>0,
可得方程(*)有兩個不等的實(shí)數(shù)根.
∴滿足條件的點(diǎn)P有兩個.