Question

已知向量

a

=(1-tanx，1)，

b

=(1+sin2x+cos2x，-3)， 記 f(x)=

a

•

b

（1）求f （x）的周期；
（2）若g(a)=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)，則求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算

a

•

b

后，得到函數(shù)f（x）的解析式，第一項第一個括號中利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦進行化簡，第二個括號利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，約分后再利用二倍角的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（2）把x=

α

2

和x=

α

2

+

π

4

分別代入得出的函數(shù)f（x）解析式，確定出g（α）的解析式，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡后，再根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可得到g（α）的最小值．

解答：解：（1）f（x）=（1-tanx）（1+sin2x+cos2x）-3
=

cosx-sinx

cosx

(2cos2x+2sinxcosx)-3
=2（cos²x-sin²x）-3
=2cos2x-3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵g（α）=f(

α

2

)-f(

α

2

+

π

4

)=2cosα-2cos(α+

π

2

)
=2(cosα+sinα)=2

2

sin(α+

π

4

)，
∴g（α）的最小值為-2

2

．

點評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．