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        1. (2012•福建模擬)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2
          2
          ,∠ABC=90°,如圖1.把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖2.
          (Ⅰ)求證:CD⊥AB;
          (Ⅱ)若點(diǎn)M為線段BC中點(diǎn),求點(diǎn)M到平面ACD的距離;
          (Ⅲ)在線段BC上是否存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°?若存在,求出
          BN
          BC
          的值;若不存在,說明理由.
          分析:(Ⅰ)先證明CD⊥BD,利用平面ABD⊥平面BCD,可得CD⊥平面ABD,利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB;
          (Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ACD的一個法向量為
          n
          =(1,0,-1)
          ,進(jìn)而可求點(diǎn)M到平面ACD的距離;
          (Ⅲ)假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°,設(shè)
          BN
          BC
          , 0<λ<1
          ,可得
          AN
          =(1-2λ,2λ,-1)
          ,利用向量的夾角公式,建立方程,即可求得結(jié)論.
          解答:(Ⅰ)證明:由已知條件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.…(2分)
          ∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD.
          ∴CD⊥平面ABD.…(3分)
          又∵AB?平面ABD,∴CD⊥AB.…(4分)
          (Ⅱ)解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),BD所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0).
          CD
          =(0,-2,0),
          AD
          =(-1,0,-1)
          .…(6分)
          設(shè)平面ACD的法向量為
          n
          =(x,y,z)
          ,則
          CD
          n
          ,
          AD
          n
          ,∴
          y=0
          x+z=0

          令x=1,得平面ACD的一個法向量為
          n
          =(1,0,-1)

          ∴點(diǎn)M到平面ACD的距離d=
          |
          n
          MC
          |
          |
          MC
          |
          =
          2
          2
          .…(8分)
          (Ⅲ)解:假設(shè)在線段BC上存在點(diǎn)N,使得AN與平面ACD所成角為60°.…(9分)
          設(shè)
          BN
          BC
          , 0<λ<1
          ,則N(2-2λ,2λ,0),
          AN
          =(1-2λ,2λ,-1)

          又∵平面ACD的法向量
          n
          =(1,0,-1)
          且直線AN與平面ACD所成角為60°,
          sin60°=
          |
          AN
          n
          |
          |
          AN
          |•|
          n
          |
          =
          3
          2
          ,…(11分)
          可得8λ2+2λ-1=0,
          λ=
          1
          4
          或λ=-
          1
          2
          (舍去).
          綜上,在線段BC上存在點(diǎn)N,使AN與平面ACD所成角為60°,此時
          BN
          BC
          =
          1
          4
          .…(13分)
          點(diǎn)評:本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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          .
          x
          ,
          .
          x
          ,則下列判斷正確的是( 。

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          3
          2
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          a
          =(3,1)
          ,
          b
          =(x
          ,-3),且
          a
          b
          ,則x=
          1
          1

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          3x+1 , x≤0
          f(f(
          1
          4
          ))
          的值是( 。

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