Question

已知過(guò)點(diǎn)A（-4，0）的動(dòng)直線l與拋物線G：x²=2py（p＞0）相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率是

1

2

時(shí)，

AC

=4

AB

．求拋物線G的方程．

Answer 1

分析：確定l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

AC

=4

AB

，即可求得拋物線G的方程．

解答：解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率是

1

2

時(shí)，l的方程為y=

1

2

（x+4），即x=2y-4．
與拋物線方程聯(lián)立得2y²-（8+p）y+8=0，
∴

y1+y2= p+8 2 y1y2=4

又∵

AC

=4

AB

，∴y₂=4y₁，解得：y₁=1，y₂=4，p=2，
∴拋物線G的方程為x²=4y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，屬于中檔題．