Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)P（2，1）的直線與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M ．

   （1）求橢圓C的方程；

   （2）求直線的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

   （3） 是否存過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足？若存在，求出直線l₁的方程；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

，，

【解析】解（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意得

       解得，故橢圓C的方程為．……………………4分

   （Ⅱ）因?yàn)檫^點(diǎn)P（2，1）的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為

       由                                得．①

       因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以

       整理，得                          解得

       所以直線l方程為

       將代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為……8分

   （Ⅲ）若存在直線l₁滿足條件，的方程為，代入橢圓C的方程得

      

       因?yàn)橹本�l₁與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

       所以

       所以．

       又，

       因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052112112773439240/SYS201205211212582500318749_DA.files/image022.png">即，

       所以．

       即

       所以，解得  因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以．

       于是存在直線₁滿足條件，其方程為………………………………12分