Question

某廣場(chǎng)一雕塑造型結(jié)構(gòu)如圖所示，最上層是一呈水平狀態(tài)的圓環(huán)，其半徑為2m，通過(guò)金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃支撐在地面B處（BC垂直于水平面），A₁，A₂，A₃是圓環(huán)上的三等分點(diǎn)，圓環(huán)所在的水平面距地面10m，設(shè)金屬桿CA₁，CA₂，CA₃所在直線與圓環(huán)所在水平面所成的角都為θ．（圓環(huán)及金屬桿均不計(jì)粗細(xì)）
（1）當(dāng)θ的正弦值為多少時(shí)，金屬桿BC，CA₁，CA₂，CA₃的總長(zhǎng)最短？
（2）為美觀與安全，在圓環(huán)上設(shè)置A₁，A₂，…，A_n（n≥4）個(gè)等分點(diǎn)，并仍按上面方法連接，若還要求金屬桿BC，CA₁，CA₂，…，CA_n的總長(zhǎng)最短，對(duì)比（1）中C點(diǎn)位置，此時(shí)C點(diǎn)將會(huì)上移還是下移，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意設(shè)出角度，用設(shè)出的角度表示出要求和的最小值的量，表示出金屬桿總長(zhǎng)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值也就是最值．
（II）表示出總長(zhǎng)度函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即函數(shù)的最值，得到C點(diǎn)的變化．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)O為圓環(huán)的圓心，依題意，∠CA₁O=∠CA₂O=∠CA₃O=θ，
CA₁=CA₂=CA₃=

2

cosθ

，CO=2tanθ，
設(shè)金屬桿總長(zhǎng)為ym，則y=

6

cosθ

+10-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+10，
（0＜θ＜

π

2

）y′=

2(3sinθ-1)

cos2θ

，
當(dāng)sinθ＜

1

3

時(shí)，y'＜0；當(dāng)sinθ＞

1

3

時(shí)，y'＞0，
∴當(dāng)sinθ=

1

3

時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值．
（Ⅱ）依題意，y=

2n

cosθ

+10-2tanθ=

2(n-sinθ)

cosθ

+10，y′=

2(nsinθ-1)

cos2θ

，
當(dāng)sinθ＜

1

n

時(shí)，y'＜0；當(dāng)sinθ＞

1

n

時(shí)，y'＞0，
∴當(dāng)sinθ=

1

n

時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值．
當(dāng)n≥4時(shí)，

1

n

＜

1

3

，所以C點(diǎn)應(yīng)上移．

點(diǎn)評(píng)：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是建立起符合條件的模型，然后再由三角形中的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，解三角形的應(yīng)用一般是求距離（長(zhǎng)度問(wèn)題，高度問(wèn)題等）解題時(shí)要注意綜合利用所學(xué)的知識(shí)與題設(shè)中的條件，求解三角形的邊與角．