已知函數(shù)

.
(1)若直線

與

的反函數(shù)的圖象相切,求實數(shù)k的值;
(2)設

,討論曲線

與曲線

公共點的個數(shù);
(3)設

,比較

與

的大小,并說明理由.
(1)

(2)見解析;
(3)

(1)

的反函數(shù)為

.
設直線

與

的圖象在

處相切,則

,解得

.
(2)曲線

與

的公共點個數(shù)等于曲線

與y=m的公共點個數(shù).
令

,則

,∴

.
當

時,

,

在(0,2)上單調遞減;
當

時,

,

在(2,+∞)上單調遞增,
∴

在(0,+∞)上的最小值為

.
當

時,曲線

與y=m無公共點;
當

,曲線

與y=m恰有一個公共點;
當

時,在區(qū)間(0,2)內存在

,使得

,在(2,+∞)內存在

,使得

.
由

的單調性知,曲線

與y=m在(0,+∞)上恰有兩個公共點.
綜上所述,當x>0時,
若

,曲線

與

沒有公共點;
若

,曲線

與

有一個公共點;
若

,曲線

與

有兩個公共點.

(3)解法一:可以證明

.事實上,



.(*)
令

,
則

,

(當且僅當x=0時等號成立),
∴

在[0,+∞)上單調遞增,
∴

時,

.
令

,即得(*)式,結論得證.
解法二:



,
設函數(shù)

,
則

,
令

,則

(當且僅當x=0時等號成立),
∴

單調遞增,
∴當x>0時,

,∴

單調遞增.
當x>0時,u(x)>u(0)=0.
令

,得

,
∴

,
因此,

.
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)


為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線

在

處的切線方程;
(2)若

是

的一個極值點,且點

,

滿足條件:

.
(。┣

的值;
(ⅱ)求證:點

,

,

是三個不同的點,且構成直角三角形.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

.
(1)當

時,求函數(shù)

的單調增區(qū)間;
(2)當

時,求函數(shù)

在區(qū)間

上的最小值;
(3)記函數(shù)

圖象為曲線

,設點

,

是曲線

上不同的兩點,點

為線段

的中點,過點

作

軸的垂線交曲線

于點

.試問:曲線

在點

處的切線是否平行于直線

?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

的圖象在點

處的切線方程為

.
(1)求實數(shù)

的值;
(2)設

.
①若

是

上的增函數(shù),求實數(shù)

的最大值;
②是否存在點

,使得過點

的直線若能與曲線

圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等.若存在,求出點

坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

,

.
(1)若函數(shù)

的圖象在

處的切線與

軸平行,求

的值;
(2)若

,

恒成立,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知


(1)當

時,求

的極大值點;
(2)設函數(shù)

的圖象

與函數(shù)

的圖象

交于

、

兩點,過線段

的中點做

軸的垂線分別交

、

于點

、

,證明:

在點

處的切線與

在點

處的切線不平行.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若f(x)=2lnx﹣x
2,則f′(x)>0的解集為( 。
A.(0,1) |
B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) |
C.(﹣1,0)∪(1,+∞) |
D.(1,+∞) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知f(x)=x
2+ax+b,g(x)=x
2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,則g(4)= ( )
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