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        1. f(x)和g(x)都是定義在集合M上的函數(shù),對(duì)于任意的x∈M,都有f(g(x))=g(f(x))成立,稱函數(shù)f(x)與g(x)在M上互為“H函數(shù)”.
          (1)若函數(shù)f(x)=ax+b,g(x)=mx+n,f(x)與g(x)互為“H函數(shù)”,證明:f(n)=g(b)
          (2)若集合M=[-2,2],函數(shù)f(x)=x2,g(x)=cosx,判斷函數(shù)f(x)與g(x)在M上是否互為“H函數(shù)”,并說(shuō)明理由.
          (3)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=x+1在集合M上互為“H函數(shù)”,求a的取值范圍及集合M.

          (1)證明:∵f(x)=ax+b,
          g(x)=mx+n,f(x)與g(x)互為“H函數(shù)”,
          ∴對(duì)于?x∈R,f(g(x))=g(f(x))成立.
          即ag(x)+b=mf(x)+n恒成立…
          ∴max+an+b=amx+mb+n,…
          ∴an+b=mb+n,
          ∴f(n)=g(b).…
          (2)解:假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)互為“H函數(shù)”,
          則對(duì)于任意的x∈Mf(g(x))=g(f(x))恒成立.
          即cosx2=cos2x,對(duì)于任意x∈[-2,2]恒成立….
          當(dāng)x=0時(shí),cos0=cos0=1.
          不妨取x=1,則cos12=cos1,所以cos1≠cos21…
          所以假設(shè)不成立,在集合M上,
          函數(shù)f(x)與g(x)不是互為“H函數(shù)”….
          (3)解:由題意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1)…
          變形得,ax(a-1)=1,
          由于a>0且a≠1
          因?yàn)閍x>0,所以,即a>1…
          此時(shí)x=-loga(a-1),
          集合M={x|x=-loga(a-1),a>1}…
          分析:(1)由f(x)=ax+b,g(x)=mx+n,f(x)與g(x)互為“H函數(shù)”,知f(g(x))=g(f(x))成立.即ag(x)+b=mf(x)+n恒成立,由此能夠證明f(n)=g(b).
          (2)假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)互為“H函數(shù)”,則對(duì)于任意的x∈M,f(g(x))=g(f(x))恒成立.即cosx2=cos2x,對(duì)于任意x∈[-2,2]恒成立,由此能推導(dǎo)出在集合M上,函數(shù)f(x)與g(x)不是互為“H函數(shù)”.
          (3)由題意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1),變形得ax(a-1)=1,由于a>0且a≠1,由此能求出a的取值范圍及集合M.
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)值相等的證明,考查兩個(gè)函數(shù)是否互為“H函數(shù)”的判斷,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          5、若函數(shù)f(x)和g(x)的定義域、值域都是R,則不等式f(x)>g(x)有解的充要條件是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
          (1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
          2
          ,求a的值;
          (2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
          2
          2
          ,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          對(duì)于定義在區(qū)間[m,n]上的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),如果對(duì)任意的x∈[m,n],均有不等式|f(x)-g(x)|≤1成立,則稱函數(shù)f(x)與g(x)在[m,n]上是“友好”的,否則稱“不友好”的.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)f(x)=loga(x-3a)與g(x)=loga
          1x-a
          (a>0,a≠1),給定區(qū)間[a+2,a+3].
          (1)若f(x)與g(x)在區(qū)間[a+2,a+3]上都有意義,求a的取值范圍;
          (2)討論函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間[a+2,a+3]上是否“友好”.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•綿陽(yáng)二模)對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f(x)和g(x),若對(duì)任意的x∈D,都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱f(x)和g(x)在D上是“密切函數(shù)”.給出定義域均為D={x|1≤x≤3}的四組函數(shù)如下:
          ①f(x)=x2-x+1,g(x)=3x-2
          ②f(x)=x3+x,g(x)=3x2+x-1
          ③f(x)=log2(x+1),g(x)=3-x
          ④f(x)=
          3
          2
          sin(
          π
          3
          x+
          π
          3
          ),g(x)=
          1
          4
          cos
          π
          3
          x-
          3
          4
          sin
          π
          3
          x
          其中,函數(shù)f(x)印g(x)在D上為“密切函數(shù)”的是
          ①④
          ①④

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:徐州模擬 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
          (1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
          2
          ,求a的值;
          (2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
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          ,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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