Question

已知函數(shù)h（x）=2^x（x∈R），它的反函數(shù)記為h^-1（x）．A、B、C三點在函數(shù)h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8（a＞1），設(shè)△ABC的面積為S．
（1）求S=f（a）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（a）的值域；
（3）若S＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)h（x）=2^x的反函數(shù)，在反函數(shù)解析式中分別取x=a，a+4，a+8求出對應(yīng)的函數(shù)值，利用三角形的面積等于兩個小梯形的面積減去大梯形的面積整理得答案；
（2）首先求真數(shù)的值域，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（a）的值域；
（3）把S代入S＞2，求解對數(shù)不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）由h（x）=2^x（x∈R），得h^-1（x）=log₂x（x＞0）．
∵A、B、C三點在函數(shù)h^-1（x）的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8（a＞1），
∴h^-1（a）=log₂a，h^-1（a+4）=log₂（a+4），h^-1（a+8）=log₂（a+8）．
過A、B、C三點分別作x軸的垂線AA₁，BB₁，CC₁．
∴S=f（a）=SABB1A1+SBCC1B1-SACC1A1
=

1

2

[log2a+log2(a+4)]×4+

1

2

[log2(a+4)+log2(a+8)]×4-

1

2

[log2a+log2(a+8)]
=2log2(a2+4a)+2log2(a2+12a+32)-4log2(a2+8a)
=2log2

a(a+4)(a+4)(a+8)

a2(a+8)2

=2log2

(a+4)2

a(a+8)

 （a＞1）；
（2）令g（a）=

(a+4)2

a(a+8)

=1+

16

a2+8a

，
由已知a＞1，得a²+8a＞9，0＜

1

a2+8a

＜

1

9

，
0＜

16

a2+8a

＜

16

9

，1＜1+

16

a2+8a

＜

25

9

．
∴1＜g（a）＜

25

9

．
則f（a）=2log₂g（a）∈(0，4log2

5

3

)；
（3）由S＞2，得2log2

(a+4)2

a(a+8)

＞2，即log2

(a+4)2

a(a+8)

＞1，

(a+4)2

a(a+8)

＞2（a＞1），解得a＞4

2

-4．

點評：本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查了函數(shù)的值域，考查了學(xué)生的計算能力，是中檔題．