Question

【題目】定長為2的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在以點(diǎn)（0， ）為焦點(diǎn)的拋物線x2=2py上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】最短距離為,（， ）

【解析】試題分析：由題意得到拋物線的方程，設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，得到和，根據(jù)，求得，進(jìn)而利用基本不等式，即可求解的最小值，得到此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：

依題意可得拋物線的方程為x2=y.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b（kR），

聯(lián)立方程組得2x2-kx-b=0.

設(shè)A（x1,y1），B（x2，y2），則x1+x2=,x1x2=-,y1+y2=.

因?yàn)?/span>|AB|=2,所以（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]=4，

所以b=，

所以yM=

=.

當(dāng)且僅當(dāng)=即k=±時(shí)取等號(hào)，

所以點(diǎn)M到x軸的最短距離為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）.