Question

已知函數(shù)在處取得極值，且恰好是的一個零點．
（Ⅰ）求實數(shù)的值，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)、分別是曲線在點和（其中）處的切線，且．
①若與的傾斜角互補，求與的值；
②若（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）增區(qū)間，減區(qū)間；（Ⅱ）①，；②.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在處取得極值有，以及是函數(shù)的一個零點，有，由這兩個等式列方程組求和，從而確定函數(shù)，進而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間與減區(qū)間；（Ⅱ）①在（Ⅰ）函數(shù)的解析式確定的基礎(chǔ)上，由得，由與的傾斜角互補得到以及可以求出與的值；②根據(jù)這個條件確定與的關(guān)系，再進行適當(dāng)轉(zhuǎn)化利用基本不等式或函數(shù)的最值的思想求的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ），
由已知得： 得            3分
解得．                               4分
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是．         6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，       
依題意，直線和的斜率分別為和，
因為，所以，
所以．（*）
①因為與的傾斜角互補，所以， 
即，（**）                   8分
由（*）（**），結(jié)合，解得，，
即，．                             10分
②因為，所以，，
所以，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．
所以．                      14分