Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，可知為的一個(gè)零點(diǎn)，要使在上有三個(gè)零點(diǎn)，即方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，參變分離將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性與最值，即可得到的取值范圍.

解：（1）

.

當(dāng)時(shí)，，

令，得，則，

故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由，可知為的一個(gè)零點(diǎn)，

則方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

問題等價(jià)于函數(shù)與直線有2個(gè)交點(diǎn)，

，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

.

，且，

，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.